אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן

Transcript

1 אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן מספר סידורי: מספר סטודנט: בחינה בקורס: פיזיקה משך הבחינה: שלוש שעות 1 יש לענות על כל השאלות 1 לכל השאלות משקל שווה בציון הסופי, ולכל סעיף אותו משקל בשאלה 1 יש לכתוב תשובות מלאות בכתב יד ברור ונקי ע"ג טופס הבחינה בלבד! המחברות משמשות לטיוטה בלבד ולא תבדקנה 1 ניתן להיעזר בשני דפי נוסחאות )A(, כתובים משני הצדדים 1 בנוסף, נוסחאות של אופרטורים דיפרנציאלים בקואורדינטות שונות מופיעות בסוף הבחינה 1 ניתן )אך אין צורך( להיעזר במחשבון 1 אין להיעזר בשום מכשיר אלקטרוני שאינו מחשבון 1 ב ה צ ל ח ה!!! שאלה 6 3 ציון ציון כולל : כל הזכויות שמורות מבלי לפגוע באמור לעיל, אין להעתיק, לצלם, להקליט, לשדר, לאחסן מאגר מידע, בכל דרך שהיא, בין מכנית ובין אלקטרונית או בכל דרך אחרת כל חלק שהוא מטופס הבחינה.

2 שאלה 1 נתונה המערכת הבאה, המתוארת בקואורדינטות כדוריות: בראשית הצירים נמצא מטען נקודתי 1q בתחום הרדיאלי ישנה קליפה כדורית עבה, מוליכה ובלתי טעונה 1 ברדיוס )כאשר ) ישנה קליפה כדורית דקה, מבודדת וטעונה בצפיפות מטען משטחית אחידה 1 1 א 1 ב 1 ג 1 מהו וקטור השדה החשמלי בכל המרחב? מהי פונקציית הפוטנציאל בכל המרחב? )קחו את הפוטנציאל להיות. ב- 1( רשמו את מיקומיהן וגדליהן של כל צפיפויות המטען המשטחיות במערכת, פרט לזו שב- ) 1( בכמה משתנה הפוטנציאל בנקודה.).?( מזיזים את המטען הנקודתי למיקום פתרון: א 1 מאחר שלמערכת סימטריה כדורית, כוון השדה החשמלי הוא מקום: נשתנמש בכך שבשל חוק גאוס והסימטריה הכדורית, השדה ברדיוס או שווה ל- 1 השדה הוא השדה של המטען הנקודתי: לכן, בתחום בכל מקום 1 כעת נראה מה גודל השדה בכל תלוי רק במטענים שנמצאים ברדיוס קטן בתחום עבור נמצא חומר מוליך, ולכן השדה בתחום זה הוא.:, השדה הוא שוב כשל מטען נקודתי : : עבור, השדה הוא של מטען נקודתי

3 3 ב 1 את הפוטנציאל נקבל ע"י אינטגרציה על פני השדה מאינסוף עד הראשית, כך שהפוטנציאל הוא. באינסוף, ובגבולות בין התחומים השונים נקפיד על רציפות הפוטנציאל: בתחום : עבור : ( ) )כאשר האיבר הראשון בשורה הראשונה נובע מרציפות הפוטנציאל ב- (1 : בתחום נמצא חומר מוליך, ולכן הפוטנציאל הוא זה של ( ) עבור : ( ) ( ) ( ) מאחר שכל משטח גאוס ששפתו בתוך הקליפה המוליכה מכיל מטען כולל., אז על השפה הפנימית של ג 1, כלומר, צפיפות מטען משטחית אחידה )בשל הסימטריה ) יהיה מטען כולל הקליפה המוליכה )ברדיוס הכדורית( בגודל מאחר שהקליפה המוליכה ניטרלית, על שפתה החיצונית )ברדיוס משטחית אחידה בגודל ) יהיה מטען כולל, כלומר, צפיפות מטען ניתן לקבל פתרון זה גם מהקפיצה בשדה 1

4 בניקוד שאלה זו הושם דגש חזק על נימוק מלא 1 מרכיבי התשובה הנדרשים לניקוד מלא הם: מוליכה, דהיינו שווה-פוטנציאלית בעלת סימטריה כדורית והמטענים מחוץ מאחר שהקליפה בתחום לקליפה מקיימים סימטריה כדורית,משטחים שווה-פוטנציאליים חייבים לקיים סימטריה כדורית בתחום ניצבים לשפת הקליפה ומקיימים סימטריה כדורית 1. לכן קווי השדה מחוצה לה, ב- נמצא שהוא מכיל את אותו מטען כמו בסעיפים הקודמים 1 לכן השדה אם נבנה משטח גאוס כדורי בתחום אינו משתנה,כך שגם הפוטנציאל אינו משתנה בתחום זה. בתחום שאלה נמצא משטח אינסופי דק, הטעון בצפיפות מטען משטחית אחידה במישור קבוע 1 כאשר, נמצאת לולאה ריבועית נייחת בעלת צלע בגובה h מעל המשטח, במישור כפונקציה של הזמן: 1 המשטח נע במהירות )ראו איור( 1 ענו על כל הסעיפים א 1 ב 1 ג 1 מהי צפיפות הזרם הקווית הנובעת מתנועת המשטח? מהו השדה המגנטי בכל המרחב? מהו שטף השדה המגנטי דרך הלולאה? נתון שלמסגרת התנגדות 1 מהו גודל הזרם במסגרת ומהו כוונו )ציירו את הכוון לפי האיור(?.. בקטע זה ישנו מטען. צפיפות הזרם הקווית היא הזרם פתרון: )א( נתבונן בקטע על המשטח בעל רוחב )בכוון ) ואורך גזירה לפי הזמן נותנת את הזרם החוצה את חזית הקטע: ליחידם אורך בניצב לתנועת המטענים, כלומר )ב( מכלל היד הימנית של חוק ביו-סבר נובע כי שהשדה המגנטי יהיה בכיוון y- בצד העליון של הלוח ובכיוון y בצד התחתון של הלוח, ומאינסופיות המשטח נובע שהשדה לא יכול להיות תלוי בקוארדינטות.x,y

5 5 לכן, נבנה לולאת אמפר בצורת מלבן שצלעותיה מקבילות לצירים z ו y הלוח, גובהה z ואורכה L כבאיור למטה. ממשפט אמפר נקבל )לתקן פקטור (: והממוקמת באופן סימטרי סביב B dl LB I L vl in v B ( yˆ ולכן נוסיף את הכיוונים ונקבל: (z ) sign( sign(z)( היא פונקציה ששווה ל 1+ אם z חיובי ו 1- אם z שלילי). B v va B כאשר המעבר הראשון התאפשר משום שהשדה מאונך לפני )ג( B ds BS Ba הלולאה הריבועית )לא להתבלבל עם לולאת אמפר מהסעיף הקודם!( ואחיד. )ד( נקבל את גודל הכא"מ המושרה בלולאה מתוך משוואת פרדיי: d B d v ta v a dt dt v a I ולפי חוק אוהם הזרם יהיה: R R את הכיוון נקבע לפי חוק לנץ: השטף גדל והשדה בכיוון. לכן הזרם המושרה צריך ליצור שדה מגנטי בכיוון y+. לפי כלל היד הימנית, זרם כזה הוא עם כיוון השעון )כבאיור(.

6 1 שאלה 3 קבל שקיבולו מחובר לשני מוטות חצי-אינסופיים וחסרי התנגדות 1 מוט שלישי, בעל אורך נוגע בקצותיו במוטות החצי אינסופיים ומתרחק מהקבל במהירות קבועה שדה מגנטי קבוע א 1 ב 1 ג 1 וחסר התנגדות, )ראו איור א'( 1 באזור המוט הנע פועל הניצב למישור המעגל )השדה נכנס לדף( 1 שדה זה אינו קיים באזור הקבל 1 הזניחו את התנגדות התילים ואת השדה המגנטי שיוצר הזרם המושרה 1 מהו הכא"מ המושרה במעגל? מהו המטען על הקבל? מחליפים את הקבל בנגד שהתנגדותו )ראו איור ב'( 1 מהו הזרם במעגל? )גודל וכיוון ציינו את הכיוון באופן ברור( מחזירים את הקבל למעגל, כך שהוא מחובר בטור עם הנגד )ראו איור ג'( 1 כתבו את משוואת המתחים של המעגל ומצאו את הזרם כפונקציה של הזמן, כאשר נתון שהקבל אינו טעון בזמן 1 v איור א' איור ב' איור ג'

7 7 פתרון: א 1 נגדיר תחילה מערכת צירים: ציר יהיה כיוון התקדמות המוט וציר בהתאם( 1 כדי למצוא את הכא"מ המושרה, נשתמש בחוק פרדיי: ε יוצא מכיוון הדף )ציר הוא כלפי מעלה, השדה המגנטי אחי לכן, בכל זמן נתון, השטף המגנטי הוא מכפלת השדה המגנטי בשטח המעגל 1 נקבל ε כאשר הוא המרחק שעובר המוט תוך זמן, כאשר ב 1 ההגדרה של קיבול היא הוא הפרש המתחים בין לוחות הקבל 1 בשאלה שלנו ג 1 את גודל הזרם במעגל נמצא מחוק אוהם את כיוון הזרם נמצא ע"י חוק לנץ: השטף של השדה המגנטי שעובר בשטח המעגל גדל עם הזמן מכיוון שהשטח של המעגל גדל עם הזמן 1 הזרם המושרה יקטין את השינוי השטף המגנטי ע"י יצירת שדה מגנטי מושרה בכיוון ההפוך לשדה המגנטי שנתון בבעיה 1 מכלל יד ימין נקבל שהזרם המושרה הוא נגד כיוון השעון. )ניתן לפתור גם לפי חוק לורנץ על המטענים במוט הנע 1 ( יש בפנינו מעגל RC שמחובר למקור מתח שנתון ע"י הכא"מ המושרה שמצאנו בסעיף א' 1 נכתוב את הפרש המתחים לאורך המעגל ונשווה לאפס 1 נרצה לכתוב משוואה לזרם, נשתמש בכך ש ε )הסימן הוא חיובי מכיוון שהגדרנו את הכוון החיובי של המטען להיות כך שהלוח העליון טעון חיובית, ואז רואים שהקבל נטען ע"י זרם בכיוון אותו הגדרנו כחיובי( 1 ישנן שתי דרכים לפתור את המשוואה 1 דרך אחת: המשוואה הופכת להיות את פתרון משוואה זו ראינו בשיעורים 1 נכתוב את המשוואה בצורה כלומר הפתרון למשוואה מצורה זו ידוע: כאשר A קבוע אינטגרציה 1 כלומר: או: תנאי ההתחלה מתקבלים מהבחירה, כך שמתקבל הפתרון ( )

8 8 נגזור לפי הזמן ונקבל את הזרם: דרך שנייה היא לגזור את משוואת המתחים שכתבנו:, נמצא מתנאי ההתחלה 1 נתון לנו שבזמן ההתחלתי הקבל לא טעון, אז הפתרון של המשוואה הזו הוא כאשר את הקבוע, שהוא הזרם בזמן נציב זאת במשוואת המתחים לעיל ונקבל ε